第 8 回JMO夏季セミナーは, 2008 年 8 月 24 日（日）〜 30 日（土）の 6 泊 7 日で, ヴィラ千ヶ滝（山梨県清里高原）で開催しました. 参加希望者には事前に, 自分が数学に関して研究したもの, 興味をもったことについてのレポートを送っ てもらい, それによって選抜を行いました（2008年度JMO本選表彰者は優先的に参 加することができました. 選抜方式は年によって変わります）. 参加した生徒は男子31名, 女子5名の計36 名で, 中学1年生から高校3年生までにわたる幅広い層からの参加が見られました. また, チューターとして17名の大学生・大学院生も参加しました. 当セミナーは 数学オリンピック財団の主催で運営されています.
午前中に講義（第 3,4,5 日）, 午後・夕食後にゼミを行いました. 5日目の夜に は, 親睦を深めるためバーベキューを行いました. また, 1日目の夜には希望者による自由発表があり, 2名の生徒が自分の数学に関 する研究成果について発表してくれました.
ゼミではいくつかのグループに分かれて, それぞれ下記のうち一冊の本を読みす すめました. 最終日にはセミナー参加者全体に, グループごとに学んだことを発 表しました.
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近藤 宏樹, 入江 慶, 清水 俊宏, 西本 将樹, 松本 雄也, 川越 美規, 栗林 司, 三谷 明範, 伊藤 佑樹, 大橋 祐太, 中村 勇哉, 渡部 正樹, 井上 卓也, 大塩 博子, 片岡 俊基, 越川 皓永, 吉田 雄紀
整数と多項式には多くの共通する性質がある. 和・差・積が定義される （しかし商は必ずしも定義されない）ということを出発点として, 約数・倍数・素数・素因数分解などの基本概念が平行した方法で 扱えることが顕著である. そこで, 整数論の有名問題, 特にフェルマー予想を取り上げて, その多項式に対する類似を考える.
講義では, この問題に対して「abc定理」を経由した解法を解説する. この「abc定理」は多項式に対する定理であるが, その整数における 類似を考えると, これがabc予想という未解決問題にたどり着く. 最後にその周辺の話題を紹介する.
今回の話では, 「順序」ということにこだわることから始まります．整数の大小関係は, 「順序関係」のひとつで自然ですが, それ以外の日常生活等に現れる「順序関係」は 「人工的」な香りのするものが多いように見えます. いろいろなことを整理し, 順序を つけて考えるのは, 人間の習性かもしれません.
講義では, 多項式の割り算と順序に 関する話を少しばかりした後, ２変数以上の多項式でも, 「割り算」を定義することが 可能になることをみてゆきます. ２変数以上の多項式の割り算の話は計算機代数等で 中心的な役割を果たすグレブナ基底へとつながってゆきます.
地球を旅行できなかった昔, 人々は知恵をこらして直接に踏査できない 場所の地図を描き, また地球の大きさを測ることができました. 正確な 地図を描く工夫のなかで, 地球が「曲がっている」ことを理解するため に「曲率」という概念が産まれました.
この講義では, 曲率をめぐって 幾何学=geometry=土地を測る学問とはなにかを考えます. 人類 は今, 未踏である宇宙の地図を描こうとしています. 我々は, 宇宙の地 図を描けるでしょうか？
最終更新日：2008 年 12 月 18 日