★ 第 49 回問題 ★

n を正の整数とする. 以下の 2 つの条件をみたす正の整数の列 a₁, a₂, a₃, ... を考える：

• 1≦i≦n のとき, a_i＝i .
• n＋1≦i のとき,
  • a_i＝a_i−1＋1 ( a_i−1 と a_i−n の最大公約数が 1 のとき),
  • a_i＝a_i−1−1 (そうでないとき).

(a) n が奇数のとき, ある 2 以上の整数 k が存在して a_k＝1 となることを示せ.
(b) n が偶数のとき, ある整数 k が存在して a_k＝2011²⁰¹¹ となることを示せ.

どちらか片方のみに対する解答も歓迎します！

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