★ 第 41 回問題 ★

漸化式 F₁＝1, F₂＝1, F_n＋2＝F_n＋1＋F_n(n≧1) で定義される数列をフィボナッチ数列という. 以下の問いにそれぞれ答えよ.

(1) 以下の条件をみたす整数の組 (a, b, c) を全て求めよ：

• F_n³＋aF_n＋1³＋bF_n＋2³＝cF_nF_n＋1F_n＋2 をみたす正の整数 n が無限に存在する.

(2) 3 変数の整数係数多項式 f (x, y, z) が次の性質をみたしているとする：

• f (F_n , F_n＋1 , F_n＋2)＝0 をみたす正の整数 n が無限に存在する.

このとき, f (F_n ,F_n＋1 ,F_n＋2)＝0 をみたす正の整数 n 全体のなす集合は次の(i), (ii)の少なくとも一方をみたすことを示せ：
　(i) 正の奇数全てを含む.
　(ii) 正の偶数全てを含む.

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